Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°2 ∼ 1h Recopier et compléter la définition d'une suite convergente :

« On dit qu'une suite $(u_n)$ tend vers $\ell$ si, tout $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ contenant $\ell$ contient $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ de la suite à partir $\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ » « On dit qu'une suite $(u_n)$ tend vers $\ell$ si, tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. » Déterminer les limites suivantes :
$$\lim_{n\rightarrow+\infty}0,01n^3+n.$$ $$\lim_{n\rightarrow+\infty}n^3-n.$$ $$\lim_{n\rightarrow+\infty} \dfrac{3^n}{3^n+2^n}$$
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier $n$ par $u_{n+1}=\sqrt{1+0,1u_n^2}$ et $u_0=2$.
  1. Donner les valeurs approchées à $10^{-3}$ de $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
    2. À la calculatrice on obtient :
    $u_1\approx 1,183$ ; $u_2\approx 1,068$ ; $u_3 \approx 1,055$
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ : $\,\,\,0\leq u_{n+1}\leq u_n$.
    3. Initialisation
    Pour $n=0$ : d'après les calculs précédents on a bien : $0\leq u_1\leq u_0$.
    Hérédité
    Supposons que pour un certain entier $n$ : $0\leq u_{n+1}\leq u_n$.
    Montrons alors que : $0\leq u_{n+2}\leq u_{n+1}$.

    On a :
    $$\begin{array}{crccclr} &0 & \leq & u_{n+1} & \leq & u_n \\ \Longleftrightarrow & 0^2 & \leq & u^2_{n+1} & \leq & u^2_n & \text{La fonction carrée étant strictement croissante sur } [0\,;+\infty[\\ \Longleftrightarrow & 1+0 & \leq & 1+u^2_{n+1} & \leq & 1+u^2_n & \\ \Longleftrightarrow & \sqrt{1} & \leq & \sqrt{1+u^2_{n+1}} & \leq & \sqrt{1+u^2_n} & \text{La fonction racine carrée étant strictement croissante sur } [0\,;+\infty[\\ \Longleftrightarrow & 1 & \leq & u_{n+2} & \leq & u_{n+1} \\ \Longleftrightarrow & 0 & \leq & u_{n+2} & \leq & u_{n+1} \\ \end{array}$$
    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$, $0\leq u_{n+1}\leq u_n$.
  3. Que peut-on déduire de la question précédente pour la suite $(u_n)$ ?
    4. La suite $(u_n)$ est décroissante (car pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leq u_n$) et minorée par $0$, elle est donc convergente.
  4. Soit $v_n$ la suite définie pour tout entier $n$ par $v_n=-\dfrac{10}{9}+u_n^2$.
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
      2. Pour tout entier $n$ :
      $v_{n+1}$ $=$ $-\dfrac{10}{9}+u^2_{n+1}$
      $=$ $-\dfrac{10}{9}+1+0,1u^2_n$
      $=$ $-\dfrac{1}{9}+0,1u^2_n$
      $=$ $0,1\left( \dfrac{-\frac{1}{9}}{0,1}+u^2_n \right)$
      $=$ $0,1\left( -\dfrac{10}{9} +u^2_n\right)$
      $=$ $0,1v_n$.
      La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $0,1$ et de premier termne $v_0=-\dfrac{10}{9}+u^2_0$ $=$ $-\dfrac{10}{9}+4$ $=$ $\dfrac{26}{9}$.
    2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
      3. Pour tout entier $n$ : $v_n=v_0\times(0,1)^n$ $=$ $\dfrac{26}{9}\times(0,1)^n$.
    3. Montrer que pour tout entier $n$ : $u_n=\dfrac{1}{3}\sqrt{10+26\times(0,1)^n}$.
      4. Puisque $v_n=-\dfrac{10}{9}+u_n^2$, on a $u^2_n=\dfrac{10}{9}+v_n$.
      D'après la question 2, on sait que $u_n$ est positif, ainsi : $u_n=\sqrt{\dfrac{10}{9}+v_n}$ et donc :

      $u_n=\sqrt{\dfrac{10}{9}+\dfrac{26}{9}\times(0,1)^n}$ $=$ $\sqrt{\dfrac{1}{9}\left( 10+26\times(0,1)^n \right)}$ $=$ $\sqrt{\dfrac{1}{9}}\sqrt{ 10+26\times(0,1)^n}$ $=$ $\dfrac{1}{3}\sqrt{ 10+26\times(0,1)^n}$.
    4. Montrer alors que la limite $\ell$ de $(u_n)$ est une des solutions de l'équation $x=\sqrt{1+0,1x^2}$.
      5. On a $0,1\in[0;1[$ donc $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}(0,1)^n}$ $=$ $0$ et donc $\ell$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{3}\sqrt{10+26\times0}}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{10}}{3}$.
      Or, $\sqrt{1+0,1\ell^2}$ $=$ $\sqrt{1+0,1\times\dfrac{10}{9}}$ $=$ $\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}$ $=$ $\sqrt{\dfrac{10}{9}}$ $=$ $\dfrac{\sqrt{10}}{3}$ $=$ $\ell$.
      Ainsi le nombre $\ell$ est bien solution de l'équation $x=\sqrt{1+0,1x^2}$.
  5. Question bonus (très difficile) :
    Montrer que pour tout entier $n$ : $u_n=\sqrt{ \dfrac{11\dots114}{10^n} }$, où $11\dots114$ est un nombre s'écrivant avec $n$ chiffres $1$.
    6. On démontre ce résultat par récurrence :

    Initialisation
    Pour $n=0$ :
    Le nombre $11\dots14$ qui contient $n=0$ chiffres $1$ est le nombre $4$.
    Ainsi, $\sqrt{ \dfrac{11\dots114}{10^n} }$ $=$ $\sqrt{\dfrac{4}{10^0}}$ $=$ $\sqrt{4}$ $=$ $2$ $=$ $u_0$.

    Hérédité
    Supposons que pour un certain entier $n$ $u_n=\sqrt{ \dfrac{11\dots114}{10^n} }$, où $11\dots114$ est un nombre s'écrivant avec $n$ chiffres $1$.
    Montrons alors que $u_{n+1}=\sqrt{ \dfrac{11\dots114}{10^n} }$, où $11\dots114$ est un nombre s'écrivant avec $n+1$ chiffres $1$.

    On a $u_{n+1}$ $=$ $\sqrt{1+0,1u^2_n}$ donc d'après l'hypothèse de récurrence :
    $u_{n+1}$ $=$ $\sqrt{1+0,1\dfrac{11\dots114}{10^n}}$ $=$ $\sqrt{1+\dfrac{11\dots114}{10^{n+1}}}$ $=$ $\sqrt{\dfrac{10^{n+1}+11\dots114}{10^{n+1}}}$. De plus, $10^{n+1}+11\dots114$ (avec $n$ chiffres $1$ dans $11\dots14$) vaut $11\dots114$ avec $n+1$ chiffres $1$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.

    Conclusion
    D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$ : $u_n=\sqrt{ \dfrac{11\dots114}{10^n} }$, où $11\dots114$ est un nombre s'écrivant avec $n$ chiffres $1$.