Épreuve de mathématiques
Terminale Générale ∼ DST n°1 ∼ 2h Calculs algébriques Simplifier les expressions suivantes.

$A=5\sqrt{96}+\sqrt{24}+2\sqrt{54}$

$B=\sqrt{20}\times\sqrt{80}\times\sqrt{45}$

$C=(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2$

$D=\text{e}^{26} \times \text{e}^{5} \times \text{e}^{1993}$
$A$ $=$ $5\sqrt{96}+\sqrt{24}+2\sqrt{54}$
$=$ $5\times4\sqrt{6}+2\sqrt{6}+2\times3\sqrt{54}$
$=$ $28\sqrt{6}$.


$B$ $=$ $\sqrt{20}\times\sqrt{80}\times\sqrt{45}$
$=$ $2\sqrt{5}\times4\sqrt{5}\times3\sqrt{5}$
$=$ $120\sqrt{5}$.


$C$ $=$ $(2\sqrt{2}-\sqrt{7})^2$
$=$ $8-4\sqrt{14}+7$
$=$ $15-4\sqrt{14}$.


$D=\text{e}^{26} \times \text{e}^{5} \times \text{e}^{1993}$ $=$ $\text{e}^{2024}$. Montrer que les égalités suivantes sont vraies.
  1. Pour tout réels $a$ et $b$, $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$.

  2. Pour tout entier $n\neq0$, $\dfrac{1}{n^2+n}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$.

  3. Pour tout réel $x$, $(\text{e}^{x}-\text{e}^{-x})^2 +2=\text{e}^{2x}+\text{e}^{-2x}$

  1. $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ $=$ $a^3+a^2b+ab^2-ba^2-ab^2-b^3$
    $=$ $a^3-b^3$.

  2. $\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ $=$ $\dfrac{n+1}{n(n+1)}-\dfrac{n}{(n+1)n}$
    $=$ $\dfrac{n+1-n}{n(n+1)}$
    $=$ $\dfrac{1}{n^2+n}$.

  3. $(\text{e}^{x}-\text{e}^{-x})^2 +2$ $=$ $(\text{e}^x)^2-2\text{e}^x\times\text{e}^{-x}+(\text{e}^{-x})^2+2$
    $=$ $\text{e}^{2x}-2\text{e}^0+\text{e}^{-2x}+2$
    $=$ $\text{e}^{2x}-2+\text{e}^{-2x}+2$
    $=$ $\text{e}^{2x}+\text{e}^{-2x}$.
Résoudre le systeme d'équations suivant : $$\left\{\begin{array}{rcl}3x-2y & = & 5 \ x+y & = & 1 \end{array}\right.$$
$\left\{\begin{array}{rcl}3x-2y & = & 5 \ x+y & = & 1 \end{array}\right.$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcl}3x-2y & = & 5 \ y & = & 1-x \end{array}\right.$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcl}3x-2(1-x) & = & 5 \ y & = & 1-x \end{array}\right.$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcl}5x & = & 7 \ y & = & 1-x \end{array}\right.$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcl}x & = & \dfrac{7}{5} \ y & = & 1-\dfrac{7}{5} \end{array}\right.$
$\Longleftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{rcl}x & = & \dfrac{7}{5} \ y & = & -\dfrac{2}{5} \end{array}\right.$
Le système d'équation admet donc comme unique solution le couple : $\left( \dfrac{7}{5}\,; -\dfrac{2}{5} \right)$. Suites Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En juillet 2014, il achète 300 colonies d'abeilles qu'il installe dans cette région. Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8 % des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps.
  1. On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite $\left(C_n\right)$ le terme $C_n$ donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année $2014 + n$. Ainsi $C_0 = 300$ est le nombre de colonies en 2014.
    1. Exprimer pour tout entier $n$ le terme $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
    2. On considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par $V_n = 625 - C_n$.
      Montrer que pour tout nombre entier $n$ on a $V_{n+1} = 0,92 \times V_n$.
    3. En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $C_n = 625 - 325 \times 0,92^n$.
  2. L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif. Modifier l'algorithme suivant écrit en Python pour qu'il affiche uniquement la réponse à sa question.

    3. C = 300 n = 0 while C < 400: C = C -C*0.08+50 n = n+1 print(n)
    1. Une diminution de $8$ % correspond à un coefficient multiplicateur de $0,92$. Ainsi, pour tout entier $n$ :
      $C_{n+1}=0,92C_n+50$.

    2. $V_{n+1}$ $=$ $625-C_{n+1}$
      $=$ $625-(0,92C_n+50)$
      $=$ $575-0,92C_n$
      $=$ $0,92\left( \dfrac{575}{0,92}-C_n \right)$
      $=$ $0,92\left( 625-C_n \right)$
      $=$ $0,92V_n$.
    3. D'après la question précédente, la suite $(V_n)$ est géométrique, de raison $0,92$ et de premier terme $V_0$ $=$ $625-C_0$ $=$ $625-300$ $=$ $325$. Ainsi, pour tout entier $n$ :
      $V_n$ $=$ $325\times0,92^n$.
      De plus, $V_n=625-C_n$, donc $C_n=625-V_n$ et on a bien :
      $C_n$ $=$ $625-325\times0,92^n$.
  2. L'instruction print(n) étant à l'intérieur de la boucle, nous obtenons autant d'affichages que ce qu'il y a d'éxécutions de la boucle.
    Pour avoir la réponse affichée, et ce qu'une seule fois, il faut supprimer l'indentation pour que le print(n) s'éxécute une fois la boucle terminée.

    C = 300 n = 0 while C < 600: C = C -C*0.08+50 n = n+1 print(n)
Fonctions Soit $P(x) =\dfrac{1}{3}x^3-x^2+x-4 $ un polynôme défini sur $\mathbb R$.
  1. Déterminer, pour tout réel $x$, l'expression de $P'(x)$.
  2. Dresser le tableau de variations de $P$ sur $\mathbb R$ en étudiant le signe de sa dérivée.
  1. $P'(x)$ $=$ $\dfrac{1}{3}\times3x^2-2x+1$ $=$ $x^2-2x+1$.
  2. Pour déterminer les variations de $P$ sur $\mathbb{R}$, on étudie le signe de la dérivée.
    Pour cela, deux méthodes, soit on calcule le discriminant de $P'(x)$, soit on factorise $P'(x)$.
    • Méthode 1 :
      Discriminant $\Delta$ de $P'(x)$ : $\Delta $ $=$ $(-2)^2-4\times1\times1$ $=$ $0$.
      Ainsi, $P'(x)$ s'annule en $\dfrac{-(-2)}{2\times1}$ $=$ $1$, et est du signe du coefficient de $x^2$, à savoir positif.
    • Méthode 2 :
      On factorise $P'(x)$ ) l'aide d'une identité remarquable :
      $P'(x)$ $=$ $x^2-2x+1$ $=$ $(x-1)^2$.
      Ainsi, $P'(x)$ est positif sur $\mathbb{R}$ et s'annule en $1$.
    On peut alors déterminer les variations de $P$ sur $\mathbb{R}$.
    $x$ $-\infty$ $+\infty$ $P'(x)$ $+$ $P(x)$ croissante
Calculer les dérivées des fonctions suivantes dérivables sur $\mathbb{R}$:
  1. $f(x)=(2x^2+1)(x-1)$.

  2. $g(t)=20(\text{e}^{-0,1t}-\text{e}^{-t})$.

  3. $h(x)=\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^{x}-1}$.

  1. $f(x)$ $=$ $(2x^2+1)(x-1)$
    $=$ $2x^3-2x^2+x-1$.

    Ainsi : $f'(x)=6x^2-4x+1$.

  2. $g'(t)$ $=$ $20\left( -0,1\text{e}^{-0,1t}-(-1)\times\text{e}^{-t} \right)$
    $=$ $20\left( -0,1\text{e}^{-0,1t}+\text{e}^{-t} \right)$.

  3. La fonction $h$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$ avec :
    $u(x)=\text{e}^x+1$ et $u'(x)=\text{e}^x$
    $v(x)=\text{e}^x-1$ et $v'(x)=\text{e}^x$
    Ainsi :
    $h'(x)$ $=$ $\dfrac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{v^2(x)}$
    $=$ $\dfrac{\text{e}^x(\text{e}^x-1)-\text{e}^x(\text{e}^x+1)}{ (\text{e}^x-1)^2 }$
    $=$ $\dfrac{\text{e}^x(\text{e}^x-1-(\text{e}^x+1))}{ (\text{e}^x-1)^2 }$
    $=$ $\dfrac{-2\text{e}^x}{ (\text{e}^x-1)^2 }$
    $=$ $-\dfrac{2\text{e}^x}{ (\text{e}^x-1)^2 }$.
Probabilités Cet exercice est un Questionnaire à Choix Multiple. Aucune justification n’est demandée. Chaque réponse correcte rapportera 1 point.
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées (a, b, c ou d) est correcte.

Dans une maternité, une étude statistique a permis d’établir que : En notant $AT$ l’événement « l’accouchement a lieu avant terme » et $C$ l’événement «l’accouchement présente des complications », l’étude précédente peut être modélisée par l’arbre de probabilité suivant :
  1. Quand l'accouchement a lieu avant terme, la probabilité que celui-ci ne présente pas de complication est :

    1. $\dfrac{50}{100}$

    2. $\dfrac{60}{100}$

    3. $0,4$

    4. $\dfrac{400}{100}$

  2. Quand l'accouchement n'a pas lieu avant terme, la probabilité que celui-ci ne présente pas de complication est :

    1. $\dfrac{80}{100}$

    2. $\dfrac{60}{100}$

    3. $0,7$

    4. $\dfrac{40}{100}$

  3. La probabilité qu'un accouchement ait lieu avant terme et avec des complications est :

    1. $\dfrac{50}{100}$

    2. $\dfrac{400}{100}$

    3. $0,4$

    4. $\dfrac{4}{100}$


  4. La probabilité qu'un accouchement ait lieu à terme et avec des complications est :

    1. $\dfrac{18}{100}$

    2. $\dfrac{110}{100}$

    3. $0,11$

    4. $\dfrac{6}{100}$


  5. La probabilité qu'un accouchement présente des complications est :

    1. $\dfrac{5}{100}$

    2. $\dfrac{60}{100}$

    3. $0,5$

    4. $\dfrac{22}{100}$
On complète tout d'abord l'arbre :
  1. Quand l'accouchement a lieu avant terme, la probabilité que celui-ci ne présente pas de complication est :

    $P_{AT}(\overline{C})$ $=$ $\dfrac{60}{100}$.

  2. Quand l'accouchement n'a pas lieu avant terme, la probabilité que celui-ci ne présente pas de complication est :

    $P_{\overline{AT}}(\overline{C})$ $=$ $\dfrac{80}{100}$.

  3. La probabilité qu'un accouchement ait lieu avant terme et avec des complications est :

    $P(AT\cap C)$ $=$ $\dfrac{10}{100}\times\dfrac{40}{100}$ $=$ $\dfrac{400}{10\,000}$ $=$ $\dfrac{4}{100}$.

  4. La probabilité qu'un accouchement ait lieu à terme et avec des complications est :

    $P(\overline{AT}\cap C)$ $=$ $\dfrac{90}{100}\times\dfrac{20}{100}$ $=$ $\dfrac{1800}{10\,000}$ $=$ $\dfrac{18}{100}$.

  5. La probabilité qu'un accouchement présente des complications est :

    $P(C)$ $=$ $P(AT\cap C)+P(\overline{AT}\cap C)$ $=$ $\dfrac{4}{100}+\dfrac{18}{100}$ $=$ $\dfrac{22}{100}$.