DM n°1 ∼ ex n°75 p 218 $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites définies par $u_0=20$, $v_0=60$ et pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1}=\dfrac{2u_n+v_n}{4}$ et $v_{n+1}=\dfrac{u_n+2v_n}{4}$.
  1. Montrer que les suites $(u_n+v_n)$ et $(v_n-u_n)$ sont géométriques.
    2. Pour tout entier $n$ on a :
    $u_{n+1}+v_{n+1}$ $=$ $\dfrac{2u_n+v_n}{4}+\dfrac{u_n+2v_n}{4}$
    $=$ $\dfrac{2u_n+v_n+u_n+2v_n}{4}$
    $=$ $\dfrac{3u_n+3v_n}{4}$
    $=$ $\dfrac{3}{4}(u_n+v_n)$.
    La suite $(u_n+v_n)$ est donc géométrie de raison $\dfrac{3}{4}$.

    De plus :
    $v_{n+1}-u_{n+1}$ $=$ $\dfrac{u_n+2v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{4}$
    $=$ $\dfrac{u_n+2v_n-2u_n-v_n}{4}$
    $=$ $\dfrac{v_n-u_n}{4}$
    $=$ $\dfrac{1}{4}(v_n-u_n)$.
    La suite $(v_n-u_n)$ est donc géométrie de raison $\dfrac{1}{4}$.
  2. Exprimer $u_n+v_n$ et $v_n-u_n$ en fonction de $n$.
    3. On a $u_0+v_0$ $=$ $20+60$ $=$ $80$, et $v_0-u_0$ $=$ $60-20$ $=$ $40$.
    Ainsi, pour tout entier $n$ :

    $u_n+v_n=80\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n$ et $v_n-u_n=40\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^n$.
  3. En déduire l'expression de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
    4. En soustrayant les deux formules de la question précédente on obtient :
    $u_n+v_n-(v_n-u_n)$ $=$ $80\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n-40\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^n$
    $2u_n$ $=$ $80\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n-40\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^n$
    $u_n$ $=$ $40\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n-20\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^n$.

    En remplaçant cette expression de $u_n$ dans l'égalité $u_n+v_n=80\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n$, on a alors :

    $40\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n-20\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^n+v_n=80\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n$, soit :

    $v_n=80\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n-40\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n+20\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^n$, et donc :

    $v_n=40\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n+20\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^n$,
  4. Déterminer la limite de chacune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
    5. Puisque $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{3}{4}$ sont dans $[0\,;1[$, on a :

    $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left( \dfrac{1}{4} \right)^n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}\left( \dfrac{3}{4} \right)^n}$ $=$ $0$ et donc :

    $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}40\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n-20\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^n}$ $=$ $40\times0-20\times0$ $=$ $0$. De plus :

    $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n}$ $=$ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}40\times\left( \dfrac{3}{4} \right)^n+20\times\left( \dfrac{1}{4} \right)^n}$ $=$ $40\times0+20\times0$ $=$ $0$.
Bonus - Algorithme pour calculer les premiers termes des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ :

u = 20 v = 60 print([0,u,v]) for i in range(1,101): u_prec = u u = (2*u+v)/4.0 v = (u_prec+2*v)/4.0 print([i,u,v])