Équations de droites Équations cartésienne d'une droite Soit $E$ l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tel que $2x+y-4=0$.

Trouver un exemple de point qui appartient à $E$.

On remarque par exemple que le point $(2;0)$ a ses coordonnées qui vérifient l'égalité souhaitée.

Pour les différentes valeurs de $x$ du tableau suivant, déterminer la valeur de $y$ pour que le point de coordonnées $(x;y)$ appartienne à $E$.

$x$ $-1$ $0$ $1$ $3$ $5$

$y$ tel que $2x+y-4=0$

$x$	$-1$	$0$	$1$	$3$	$5$
$y$ tel que $2x+y-4=0$	$6$	$4$	$2$	$-2$	$-6$

Placer ses points dans le repère ci-dessous. Que remarque-t-on ?

On remarque que ces points sont alignés. Ils appartiennent à la droite représentant la fonction affine $f$, telle que pour tout $x$, $f(x)=-2x+4$.
Puisque $f(x)$ est une ordonnée, nous pouvons le remplacer par $y$, ce qui nous donne :
$y=-2x+4$, c'est-à-dire : $2x+y-4=0$.

On appelle vecteur directeur d'une droite $d$ tout vecteur représenté par deux points distincts de cette droite. Donner les coordonnées de deux vecteurs directeurs différents de la droite tracée dans le repère ci-dessous.

Choisissons plusieurs points sur la droite.

Le vecteur $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2 \ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite, ainsi que le vecteur $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-4 \ -2 \end{pmatrix}$.

Considérons, par ailleurs, un point $M(x;y)$ de cette droite. Le vecteur $\overrightarrow{AM}$ a pour coordonnées :
$\overrightarrow{AM}$ $=$ $\begin{pmatrix}x_M-x_A \ y_M-y_A \end{pmatrix}$ $=$ $\begin{pmatrix}x \ y-1 \end{pmatrix}$.
Nous avons de plus, que $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires.
Ainsi :

$\text{det}(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})$	$=$	$0$
$x\times1-(y-1)\times2$	$=$	$0$
$x-2y+2$	$=$	$0$.

Cette dernière égalité est à rapprocher de l'équation du premier exercice.
Dans un repère orthonormé, les coordonnées de l'ensemble des points $M(x;y)$ d'une droite vérifient une relation $ax+by+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sot des nombres réels. Preuve
Soient $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$ et $M(x;y)$ trois points d'une droite $d$.
On a $\overrightarrow{AB}$ $=$ $\begin{pmatrix}x_B-x_A \ y_B-y_A \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AM}$ $=$ $\begin{pmatrix}x-x_A \ y-y_A \end{pmatrix}$.
Puisque ces points sont alignés, nous avons que $\text{det}(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})$ $=$ $0$.
C'est-à-dire :

$(x-x_A)(y_B-y_A)-(y-y_A)(x_B-x_A)$	$=$	$0$
$x(y_B-y_A)-x_A(y_B-y_A)-y(x_B-x_A)-y_A(x_B-x_B)$	$=$	$0$
$(y_B-y_A)x+(x_A-x_B)y-y_A(x_B-x_B)-x_A(y_B-y_A)$	$=$	$0$
$ax+by+c$	$=$	$0$

avec $a=y_B-y_A$, $b=x_A-x_B$ et $c=-x_A(y_B-y_A)-y_A(x_B-x_B)$.
La relation $ax+by+c=0$ s'appelle équation cartésienne de la droite $d$.
Soit $d$ une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$. Le vecteur $(-b;a)$ est un vecteur directeur de $d$. La droite $d$ d'équation cartésienne $x-2y+2=0$ de l'exercice 2 a pour vecteur direteur $(2;1)$. Équation réduite d'une droite En reprenant la droite d'équation cartésienne $x-2y+2=0$, nous avons que :

$x-2y+2$	$=$	$0$
$-2y$	$=$	$-x-2$
$y$	$=$	$\dfrac{-x-2}{-2}$
$y$	$=$	$\dfrac{-x}{-2}-\dfrac{2}{-2}$
$y$	$=$	$\dfrac{1}{2}x+1$.

On retrouve ici une expression proche d'une fonction affine, avec pour coefficient directeur $\dfrac{1}{2}$ et ordonnée à l'origine $1$.
Soit $d$ une droite d'équation cartésienne $ax+by+c=0$, avec $b\neq0$.
Il existe un unique nombre $m$ et un unique nombre $p$ tels que $y=mx+p$.
L'écriture $y=mx+p$ s'appelle équation réduite de $d$.
Le nombre $m$ s'appelle coefficient directeur de $d$ et $p$ ordonnée à l'origine.

Toute droite horizontale à une équation de la forme $y = d$ avec $d\in\mathbb{R}$.
Toute droite verticale à une équation de la forme $x = d$ avec $d\in\mathbb{R}$.

Preuve

Si $d$ est horizontale alors le vecteur $(1,0)$ est un vecteur directeur.
Ainsi son équation réduite est de la forme : $0\times x-1\times y+c=0$ avec $c$ donné. C'est-à-dire : $y=c$.
Si $d$ est verticale alors le vecteur $(0,1)$ est un vecteur directeur.
Ainsi son équation réduite est de la forme : $1\times x-0\times y+c=0$ avec $c$ donné. C'est-à-dire : $x=-c$.

Positions relatives de deux droites
Soient $d$ et $d'$ deux droites d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'x+c'=0$.

Les droites $d$ et $d'$ sont paralléles si et seulement si $ab'-a'b=0$.
Les droites $d$ et $d'$ sont sécantes si et seulement si $ab'-a'b\neq0$.

Preuve
Les vecteurs $\vec{u}=(-b;a)$ et $\vec{u'}=(-b';a')$ sont des vecteurs directeurs respectifs de $d$ et $d'$.
On a : $\text{det}(\vec{u},\vec{u'})$ $=$ $-ba'-a(-b')$ $=$ $ab'-a'b$. D'où la conclusion.
Soient $d$ et $d'$ deux droites sécantes d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$.
Les coordonnées $(x;y)$ du point d'intersection de $d$ et $d'$ sont solutions du système d'équations : $$\left\{\begin{array}{rcl} ax+by+c & = & 0\ a'x+b'y+c' & = & 0 \end{array}\right.$$
Soient $d$ et $d'$ deux droites parallèles d'équations cartésiennes respectives $ax+by+c=0$ et $ax+by+c'=0$.
Les droites $d$ et $d'$ sont strictement parallèles si et seulement si $c$ $\neq$ $c'$.
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.