Probabilités Vocabulaire et premières définitions
Une expérience aléatoire est une expérience pour laquelle on peut décrire l'ensemble de tous les résultats possibles mais on ne peut prévoir le résultat à l'avance avec certitude car le hasard intervient.
Dans une expérience aléatoire, l'ensemble des issues possibles est appelé univers et est généralement noté $\Omega$. Pour un lancer de dé cubique on a : $\Omega =$ $\{ 1;2;3;4;5;6 \}$.
Un événement est une partie de l'univers. Dans l'exemple d'un lancer de dé, donner quelques événements.
On appelle cardinal le nombre d'éléments que contient l'univers. On le note $\text{card}(\Omega)$. Toujours dans un lancer de dé cubique on a $\mathrm{card(\Omega)}$ $=6$.
Dans une expérience aléatoire, on appelle événément élémentaire un événement ne possédant qu'un seul élément. Dans un lancer de dé cubique "Obtenir la face 1" est un événément élémentaire, alors que "Obenir une face portant un numéro pair" n'en est pas un. Loi de probabilité
On dit que l'on définit une loi de probabilité $p$ sur l'univers $\Omega$ lorsque l'on associe à chaque issue $x_i$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$ noté $p_i$ où $p_i$ est appelé la probabilité de l'issue $x_i$, la somme des probabilités de toutes les issues devant être égale à $1$. Ainsi, on a :

$\sum p(x_i)=$ $1$ et, pour tout $ i$, $0\leq p_i\leq 1.$ Dans notre exemple nos pouvons résumer la loi de probabilité dans le tableau ci-dessous :
$x_i$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$
$p_i$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$
On dit que la loi est équiprobable si toutes les issues ont la même probabilité et alors $p_i=$ $\dfrac{1}{\mathrm{card}(\Omega)}$.
C'est le cas des deux exemples précédents.
La probabilité d'un événement $A$ notée $P(A)$ est la somme des issues favorables à cet événement. Dans l'expérience aléatoire du lancer de dé cubique, on pose $A$ l'événement "obtenir un multiple de trois".
On a alors : $A=\{ 3;6 \}$ et $P(A)$ $=$ $P(\{3\})+P(\{6\})$ $=$ $\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}$ $=$ $\dfrac{1}{3}$.
Soit $A$ un événement d'une expérience aléatoire. Si on peut dénombrer les issues de cette expérience, et que la loi de probabilité est équiprobable, alors nous avons la formule suivante :

$P(A)$ $=$ $\dfrac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}$. Dans l'expérience aléatoire du lancer de dé cubique, on pose $B$ l'événement "obtenir un résultat pair".
$P(B)$ $=$ $\dfrac{3}{6}$ $=$ $\dfrac{1}{2}$.
Soit $P$ une loi de probabilité sur un univers $\Omega$. Propriétés algébriques -- Intersection de deux événements
L'intersection de deux événements $A$ et $B$ notée $A\cap B$ est l'événement constitué des issues qui sont à la fois favorables à $A$ et $B$. -- Réunion de deux événements
La réunion de deux événements $A$ et $B$ notée $A\cup B$ est l'événement constitué des issues qui sont favorables à l'un au moins des deux événements. Dans nos exemples, si $A$ est l'événement "obtenir un résultat multiple de trois" et $B$ est l'événement "obtenir un résultat pair", alors $A\cap B$ est l'événement "avoir un multiple de trois ET un nombre pair" : $A=\{3;6\}$; $B= \{ 2;4;6 \}$; $A\cap B =$ $\{ 6 \}$.
Puis, $A\cup B =$ $\{ 2;3;4;6 \}$.
$A\cup B$
$A\cap B$
Deux événéments $A$ et $B$ sont dits incompatibles (ou disjoints), si $A\cap B$ $=$ $\emptyset$.
Si deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles (ou disjoints) alors : $P(A\cap B)$ $=$ $0$. -- Probabilité de la réunion
$P(A\cup B)$ $=$ $P(A)+P(B) - P(A\cap B).$ Pour déterminer la probabilité de l'événements $A\cup B$, on compte le nombre d'éléments de $A$, on ajoute ceux que l'on compte dans $B$ et on retire ceux que l'on a compté deux fois, à savoir ceux de $A\cap B$. -- Événement contraire
L'événement contraire (ou complémentaire) d'un événement $A$ est l'événement constitué de toutes les issues qui ne sont pas favorables à $A$. On le note $\overline{A}$.
Toujours dans l'expérience du lancer d'un dé cubique, on considère $C$ l'événemet "obtenir au moins 2".
Écrire une phrase définissant $\overline{C}$. $\overline{C}$ : "Obtenir au plus 1", c'est-à-dire ici, "Obtenir 1".
Pour tout événement $A$ d'un univers probabilisé $\Omega$, on a : Une personne possède un dé équilibré à 12 faces en forme de dodécaèdre. Il propose un jeu d'argent : le joueur paye 2 euro pour participer, et le tableau des gains est le suivant :
Face 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gain 0€ 0,20€ 0€ 0,50€ 0€ 0,10€ 0€ 10€ 0€ 0€ 0,50€ 1€
Quelle est la probabilité de perdre de l'argent en jouant à ce jeu ? Seule l'obtention de la face 8 nous permet de gagner au final 8€. La probabilité de cet événement est de $\dfrac{1}{12}$.
Ainsi, la probabilité de ne rien gagner (événement contraire d'être gagnant) vaut $\dfrac{11}{12}$.